Calcul de champs électromagnétiques et de répartition de charges surfaciques dans des domaines quasi-singulier.
mars 2007
Type de publication :
Thèse
Editeur :
ED_447
HAL :
Mots clés :
Singularités; Développements asymptotiques multi-échelles; Eléments finis;
Résumé :
La première partie de ce mémoire est consacrée à la résolution numérique du problème de Poisson avec conditions aux limites de Dirichlet dans un domaine prismatique ou axisymétrique, possédant une arête rentrante sur sa frontière. Nous présentons la Méthode de Fourier et du Complément Singulier consistant à combiner un développement en série (de Fourier) dans la direction parallèle à l'arête et la Méthode du Complément Singulier pour les problèmes bidimensionnels associés aux modes (de Fourier). L'analyse de la MFCS conduit à une vitesse de convergence optimale en O(h) lorsqu'on utilise les éléments finis de Lagrange P1 pour la discrétisation. La méthode ne requiert aucun raffinement de maillage au voisinage de la singularité. Nous nous intéressons ensuite au calcul de la densité de charge à la pointe d'une électrode lorsque celle-ci présente un faible rayon de courbureque nous abordons par la résolution du problème électrostatique. La relation entre le rayon de courbure et le champ électrique à la surface de la pointe est décrit par la loi empirique de Peek. Toutefois, celle-ci n'est valable que pour des électrodes minces à géométrie cylindriques ou sphériques. On justifie mathématiquement cette loi et on l'étend à d'autres géométries. A l'aide des développements asymptotiques multi-échelles, on établit explicitement le comportement de la densité de charge pour des géométries coincidant avec un cône à l'infini. Enfin, nous illustrons ce comportement asymptotique par des expériences numériques réalisées en dimension deux, et en dimension trois, pour des domaines axisymétriques. Les résultats sont comparés à ceux obtenue par une méthode intégrale.
Mots clés (traduction) :
Singularities; Multiscaled asymptotic expansions; Finite elements;
Résumé (traduction) :
First, we focus on solving numerically the Poisson problem with homogenous Dirichlet conditions in a three dimensional prismatic or axisymmetric domain, with a reentrant edge at the boundary. We present the Fourier Singular Complement Method based on a Fourier expansion in the direction parallel to the reentrant edge and the Singular Complement Method for solving the 2D problems in the Fourier modes. The analysis shows that we recover the optimal rate of convergence O(h) when using P 1 Lagrange finite elements for the discretization. No refinement near the reentrant edge is required in the computations. Second, we are interested in computing the charge density and the electricfield at the rounded tip of an electrode of small curvature radius. Our model problem is the electrostatic problem. For this problem, Peek's empirical formulas describe the relation between the electric field at the surface of the electrode and its curvature radius. However, they apply only to thin electrodes with either a purely cylindrical, or a purely spherical, geometrical shape. Our aim is to justify rigorously these formulas, and to extend them to more general, either two dimensional or three dimensional axisymmetric, geometries. With the help of multiscaled asymptotic expansions, we establish rigorously an explicit formula for the electric potential in geometries that coincide with a cone at infinity. We also prove a formula for the surface charge density, which is very simple to compute with the FE Method. In particular, the meshsize can be chosen independently of the curvature radius. We illustrate our mathematical results by numerical experiments.
BibTeX :
@phdthesis{Kad-2007,
author={Samir Kaddouri },
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