Aspects probabilistes et numériques relatifs à une équation de type milieux poreux à coefficients irréguliers
novembre 2012
Type de publication :
Thèse
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Résumé :
L’objet principal de cette thèse est un problème d’évolution dans L1(Rd) d’une EDP du type ∂tu(t, x) =1/2xΔβ(u(t, x)), (t, x) ∈ ]0, T ] × Rexpd. (PDE). Dans cette thèse, on s’est intéressé à des compléments théoriques relatifs à la représentation (probabiliste) de cette équation par un processus de diffusion non-linéaire lorsque le coefficient est discontinu ou dans le cas β(u) = um, 0 < m < 1 (« fast diffusion equation »). Bien que les résultats théoriques sont en grande partie en dimension d = 1, nous avons établi au passage un théorème d’unicité pour une équation multi-dimensionnelle de type Fokker-Planck à coefficients mesurables, éventuellement non-bornés et non-dégénérés. Ce théorème est un outil fondamental pour la représentation probabiliste. Nous avons aussi établi des estimations de la densité (via calcul de Malliavin) de la solution d’une EDS à coefficients lisses non-bornés, bien qu’avec toute dérivée bornée. L’objectif principal de la thèse consiste cependant dans l’implémentation d’un algorithme de systèmes de particules en interaction qui approche les solutions de l’EDP. Des comparaisons avec des méthodes déterministes ont été effectuées. Ceci a été mis en oeuvre dans les cas unidimensionnel et multidimensionnel.
Titre (traduction) :
Probabilistic and numerical aspects related to a porous media type equation with irregular coefficients
Résumé (traduction) :
The main object of this thesis is an evolution problem in L1(Rd) of the type ∂tu(t, x) =1/2xΔβ(u(t, x)), (t, x) ∈ ]0, T ] × Rexpd. (PDE). In our work, we have investigated some theoretical complements related to the (probabilistic) representation of that equation, via a non-linear diffusion process, when the coefficient β is discontinuous or in the case β(u) = um, 0 < m < 1 (“fast diffusion equation”). Even though the theoretical results concern essentially dimension d = 1, we have also establi- shed a uniqueness theorem for a multidimensional Fokker-Planck type with measurable, possibly unbounded and degenerated coefficients. This has been an important tool for the probabilistic representation. We have also established some density estimates (via Malliavin calculus) of the solution of an SDE with smooth unbounded coefficients, with bounded derivatives of each order, uniformly with respect to the initial condition. The main objective of the thesis consists however in the implementation of an interactive particle system algorithm, which approaches the solutions of the PDE. Comparison with recent deterministic numerical techniques have been performed. This has been done in the one dimensional and multidimensional cases.
BibTeX :
@phdthesis{Bel-2012,
author={Nadia Belaribi },
title={Aspects probabilistes et numériques relatifs à une équation
de type milieux poreux à coefficients irréguliers },
year={2012 },
month={11},
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