Étude de deux problèmes de propagation d'ondes transitoires : 1) Focalisation spatio-temporelle en acoustique; 2) Transmission entre un diélectrique et un métamatériau.
juin 2014
Publication type:
Doctoral these
Publisher:
Ecole doctorale de l'Ecole Polytechnique
HAL:
Keywords :
principe d'amplitude limite; Focalisation spatio-temporelle; retournement temporel; méthode DORT; modèle asymptotique de Foldy-Lax; équations de Maxwell; métamatériaux; théorie spectrale; principe d'amplitude limite.;
Abstract:
Cette thèse comporte deux parties indépendantes. Dans la première, à l'aide d'un réseau de transducteurs, nous cherchons à émettre dans un milieu contenant des obstacles diffractants dont nous ignorons les positions une onde venant focaliser en espace et en temps au voisinage d'un de ces obstacles. La solution proposée ici est basée sur la méthode DORT (Décomposition de l'Opérateur de Retournement Temporel) qui conduit à des propriétés de focalisation spatiale en régime harmonique. Cette dernière consiste à effectuer une décomposition en valeurs singulières (SVD) de l'opérateur de diffraction qui à une distribution de signaux envoyés aux transducteurs associe la mesure de l'onde diffractée. Dans le cadre du modèle asymptotique petits obstacles de Foldy-Lax (justifié ici dans le cas bidimensionnel), nous montrons comment synchroniser les signaux fournis par la méthode DORT en introduisant une SVD particulière liée au caractère symétrique de l'opérateur de diffraction. Notre méthode est justifiée par des arguments théoriques et une étude numérique. La seconde partie est dédiée à un problème de transmission entre un diélectrique et un métamatériau. La question qui est posée ici consiste à étudier la validité du principe d'amplitude limite (PAL) dans un tel milieu. Ce principe définit le régime périodique établi comme le comportement asymptotique en temps long d'un système soumis à une excitation périodique. Nous proposons ici une réponse dans le cas d'un dioptre plan entre un diélectrique et un métamatériau particulier (modèle de Drude). Dans un tel cadre, les équations de Maxwell sont reformulées en une équation de Schrödinger dont nous réalisons l'analyse spectrale complète. Notre étude permet de voir que le PAL est vérifié sauf à une fréquence particulière, appelée fréquence plasmon, pour laquelle les rapports des valeurs prises par la permittivité et par la perméabilité de part et d'autre l'interface sont égaux à -1. Cette fréquence correspond à une résonance du système et la réponse à une telle excitation croît linéairement en temps.
title (translation) :
Analysis of two wave propagation phenomena: 1) Space-time focusing in acoustics; 2) Transmission between a dielectric and a metamaterial.
Keywords (translation) :
Space-time focusing; time reversal; DORT method; Foldy-Lax asymptotic model; Maxwell's equations; metamaterials; spectral theory; limiting amplitude principle.;
Abstract (translation) :
This thesis consists of two independent parts. In the first one, we consider a reference medium, containing some scatterers whose positions are unknown. Using an array of transducers, our goal is to generate an acoustic wave that would focus in space and in time near one of these scatterers. The technique proposed here is based on DORT method (French acronym for Decomposition of the Time Reversal Operator) which leads to space focusing properties in the frequency domain. It consists in a singular value decomposition (SVD) of the scattering operator, that is, the operator which maps the input signals sent to the transducers to the measure of the scattered wave. In the context of the Foldy-Lax approximation (which is justified here in 2D), by introducing a particular SVD related to the symmetry of the scattering operator, we show how to synchronize the time-harmonic signals derived from the DORT method to achieve space-time focusing. Theoretical properties and a numerical study justify our approach. The second part is devoted to a transmission problem between a dielectric and a metamaterial. The question we consider is the following : does the limiting amplitude principle hold in such a medium? This principle defines the stationary regime as the large time asymptotic behavior of a system subject to a periodic excitation. An answer is proposed here in the case of a two-layered medium composed of a dielectric and a particular metamaterial (Drude model). In this context, we reformulate the time-dependent Maxwell's equations as a Schrödinger equation and perform its complete spectral analysis. As an application of this study, we show finally that the limiting amplitude principle holds except for a particular fequency, called the plasmonic frequency, characterised by a ratio of permittivities and permeabilities equal to -1 across the interface. This frequency is a resonance of the system and the response to this excitation blows up linearly in time.
BibTeX:
@phdthesis{Cas-2014,
author={Maxence Cassier },
title={Étude de deux problèmes de propagation d'ondes transitoires
: 1) Focalisation spatio-temporelle en acoustique; 2)
Transmission entre un diélectrique et un métamatériau. },
address={Ecole doctorale de l'Ecole Polytechnique },
year={2014 },
month={6},
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