Complexités pour les systèmes non-holonomes

Frédéric Jean

janvier 1998

Publication type:

Doctoral these

Publisher:

Thèse de doctorat de l'Université Pierre et Marie Curie (spécialité : mathématiques)

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http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=196864

HAL:

tel-03502582

Keywords :

algèbres de Lie, dimension de Hausdorff, géométrie sous-riemannienne, multiplicités d'intersections, planification de mouvements, robotique mobile, systèmes non-holonomes

Abstract:

Cette thèse de géométrie sous-riemannienne s'articule en deux parties. Une première partie est consacrée à l'étude de deux quantités dont on montrera qu'elles sont équivalentes, la complexité de la planification de trajectoires non-holonomes d'une part, et d'autre part la mesure d'entropie des sous-variétés unidimensionnelles. On estime ces quantités en fonction des coordonnées de la tangente à une sous-variété dans une base de l'algèbre de Lie de contrôle et du vecteur de croissance. Il apparaît en particulier que la dimension de Hausdorff peut être non seulement supérieure à la dimension topologique, mais également non entière. On présente de plus une méthode de planification de mouvements non-holonomes basée sur un résultat dans les algèbres de Lie libres : pour tout élément $P$ d'une algèbre de Lie libre $L(x_1, \dots,x_m)$, $\exp(P)$ peut être approximé à tout ordre par un produit de facteurs élémentaires $\exp(a_{i} x_{i})$.

Dans la deuxième partie de ce mémoire, on s'intéresse aux propriétés de l'algèbre de Lie de contrôle pour des classes de systèmes particuliers. On traite d'abord un exemple significatif, le système de contrôle de la voiture à $n$ remorques, pour lequel on détermine complètement la structure de l'algèbre de Lie en calculant en chaque point le vecteur de croissance. Enfin on considère les systèmes de contrôle algébriques en dimension 3. On donne pour ces systèmes une borne optimale pour le degré de non-holonomie. Ce calcul repose sur une estimation de la multiplicité d'un polynôme sur la trajectoire d'un champ de vecteur polynômial que l'on obtient en utilisant une technique d'estimation de multiplicités d'intersections Pfaffiennes.

Directeur de thèse: RISLER Jean-Jacques
Présitent du Jury: KUPKA Ivan
Rapporteurs CORON Jean-Michel, LAUMOND Jean-Paul
Membres du Jury: BELLAICHE André, PANSU Pierre, SUSSMANN Héctor.

Abstract (translation) :

This thesis of sub-Riemannian geometry is divided in two parts. A first part is devoted to the study of two quantities closely related : the complexity of nonholonomic motion planning and the entropy of one-dimensional submanifolds. We give estimates for these quantities in function of coordinates of the tangent to the submanifold in a basis of the control Lie algebra and of the growth vector. As a consequence, it appears that the dimension of Hausdorff of the submanifold can be greater than the topological dimension or non integer. We present also a method of nonholonomic motion planning based on a result in the free Lie algebras : for any $P$ in a free Lie algebra ${\cal L}(x_1, \dots,x_m)$, $\exp(P)$ can be approximated at any order by a product of elementary factors $\exp(\lambda_{i} x_{i})$.

In the second part, we are interesting in the properties of the control Lie algebra for particular system classes. We first deal with a significant example, the $n$-trailers car control systems. We characterize completely the structure of the Lie algebra of this system by computing at each point the growth vector. At last we consider the class of the algebraic control systems in dimension 3. For these systems we give an optimal bound for the degree of nonholonomy. We obtained this bound by estimating the multiplicity of a polynomial on the trajectory of a polynomial vector field. The proof uses a technique of estimation of multiplicities of Pfaffian intersections. Informations facultatives

BibTeX:

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